Per studiare questo aspetto è utile immaginare un setup come quello raffigurato nella figura qui sotto: 

Consideriamo tre soggetti, Alice, Bob e Charlie, che prepareranno e misureranno coppie di spin. Nello specifico, supponiamo che Charlie abbia accesso a una vasta riserva di spin, nonché alle conoscenze e agli strumenti sperimentali necessari per prepararli in qualsiasi stato desideri (purché ciò sia fisicamente possibile). Charlie preparerà quindi coppie di spin in un determinato stato e invierà uno degli spin ad Alice e l’altro a Bob. Alice e Bob misureranno quindi i rispettivi spin utilizzando un apparato di Stern-Gerlach (vedi la voce di Quest sullo stato quantistico) orientato lungo una direzione, che potranno concordare, e confronteranno i risultati. Charlie ha il compito di correlare tali risultati: sia Alice che Bob dovrebbero ottenere risultati casuali nella direzione da loro scelta, ma i risultati casuali dovrebbero corrispondere tra loro. 

La prima strategia di Charlie prevede l'uso di una moneta. Decide di lanciarne una e, se il risultato è «testa», di preparare due spin nello stato $|\uparrow\rangle$. Se il risultato è «croce», li prepara nello stato $|\downarrow\rangle$. I due spin vengono quindi inviati ad Alice e Bob (uno ciascuno), che li misurano in direzione verticale. Come descritto nella voce della Quest sulla misurazione, se Alice e Bob ricevono i loro spin nello stato $|\uparrow \rangle$, entrambi osserveranno il risultato “su”, mentre sarà ‘giù’ se Charlie ha ottenuto “croce” nel lancio della moneta. Dopo aver ripetuto il processo molte volte, cioè dopo che Charlie ha inviato molte coppie di spin preparati in questo modo, Alice e Bob si incontrano e confrontano i risultati. Concludono che, mentre individualmente hanno ottenuto “sopra” o “sotto” in modo casuale con probabilità $p = 1/2$, i loro risultati erano perfettamente correlati. 

Ora decidono di ripetere il processo con una leggera variazione: Charlie continuerà a preparare le coppie in modo casuale, sia nello stato $|\uparrow\rangle$ che in quello $|\downarrow\rangle$, ma Alice e Bob misureranno invece la componente orizzontale dello spin $x$. Quali saranno le probabilità che Alice e Bob osservino “sinistra” o “destra”? I risultati saranno correlati in questo caso? Prova a indovinare la risposta prima di leggerla (Suggerimento: controlla la voce di Quest sulla misurazione). Analizziamo la situazione. Supponiamo che Charlie abbia ottenuto “testa” e quindi abbia preparato due spin nello stato $|\uparrow\rangle$. Alice riceve quindi uno spin nello stato $|\uparrow\rangle$ e lo misura in direzione orizzontale. Ciò produce “sinistra” o “destra” con probabilità $p = 1/2$. La situazione è identica per Bob. Ma devono necessariamente osservare lo stesso risultato (entrambi “sinistra” o entrambi “destra”)? Beh, per quanto ne sappiamo, questi due spin sono stati preparati nello stato $|\uparrow \rangle$ in modo indipendente, quindi possiamo considerarli come due spin diversi provenienti da un apparato di Stern-Gerlach orientato verticalmente, per cui possono dare risultati diversi quando misurati in direzione orizzontale. Pertanto, non c'è motivo di aspettarsi che i loro risultati siano in alcun modo correlati. Nella metà dei casi in cui Alice ottiene “sinistra” Bob ottiene “destra” e nell'altra metà ottiene ‘sinistra’ (idem quando Alice ottiene “destra”). 

 

Finché Charlie prepara coppie di spin in questo modo, cioè attribuendo a ciascuna di esse una componente di spin ben definita lungo una determinata direzione, le correlazioni perfette nei risultati saranno limitate a quelle specifiche direzioni. Infatti, in base al principio di Heisenberg (vedi la voce correlata in Quest), la componente di spin in una direzione perpendicolare a quella perfettamente definita è completamente indeterminata, il che significa che la sua misurazione produce un risultato del tutto casuale, non correlato a nient’altro. Ma questo non è tutto ciò che Charlie può fare. Può invece correlare gli spin “alla maniera quantistica”, cioè rendendoli “entangled”. 

Secondo la meccanica quantistica, lo spazio di Hilbert di un sistema composto da due parti è il prodotto tensoriale dei rispettivi spazi di Hilbert. In pratica, ciò significa quanto segue. Se uno spin $A$ può trovarsi in una sovrapposizione arbitraria degli stati $|\uparrow\rangle_A$ e $|\downarrow\rangle_A$, e un altro spin $B$ può trovarsi anch'esso in una sovrapposizione arbitraria degli stati $|\uparrow\rangle_B$ e $|\downarrow\rangle_B$, essi possono trovarsi congiuntamente in una sovrapposizione arbitraria degli stati $|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B$, $|\uparrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B$, $|\downarrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B$ e $|\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B$, dove il simbolo del prodotto cerchiato, $\otimes$, rappresenta il prodotto tensoriale; non è necessario introdurre qui le proprietà matematiche di questo prodotto. Ai fini del nostro discorso, possiamo interpretarlo come una versione matematica di “e”. Ad esempio, lo stato $|\uparrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B$ può essere letto come “spin $A$ nello stato $|\uparrow\rangle_A$ e spin $B$ nello stato $|\downarrow\rangle_B$”. Per capire come funziona, rivediamo la situazione discussa in precedenza in cui Charlie prepara i due spin nello stato $|\uparrow\rangle$ e Alice e Bob effettuano la misurazione in direzione orizzontale. Dalla voce di Quest sul comportamento ondulatorio, sappiamo che $|\uparrow\rangle = ( |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle ) / \sqrt{2}$, quindi possiamo scrivere quanto segue 
$$ 
|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|\leftarrow\rangle_A +|\rightarrow\rangle_A \right) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\leftarrow\rangle_B + |\rightarrow\rangle_B \right). 
$$ 
Per risolvere questa espressione dobbiamo usare la proprietà associativa del prodotto tensoriale (che funziona proprio come nel prodotto standard fra numeri), ottenendo 
$$ 
\begin{aligned} 
|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B =& 
\frac{1}{2} |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + \frac{1}{2} |\leftarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B \\ 
&+ \frac{1}{2} |\rightarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + \frac{1}{2} |\rightarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B. 
\end{aligned} 
$$ 

In altre parole, lo stato congiunto si trova in una sovrapposizione di tutte le possibili combinazioni di componenti di spin orizzontali ben definite. Secondo il terzo postulato della meccanica quantistica (vedi la voce su Quest dedicata alla fisica quantistica), Alice e Bob rileveranno uno qualsiasi di questi risultati con probabilità $p = | 1/2 |^2 = 1/4$, proprio come spiegato in precedenza in termini non matematici.  

Ora, si noti che la sovrapposizione nell'ultima espressione è stata ottenuta espandendo i termini in un prodotto tensoriale di due stati a spin singolo, $|\uparrow\rangle_A$ e $|\uparrow\rangle_B$. Tuttavia, non tutte le sovrapposizioni di stati a due spin sono di questa forma. Ad esempio, consideriamo lo stato $|\Psi\rangle_{AB} = (|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B +|\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B) / \sqrt{2}$. Questo stato non è un prodotto tensoriale di stati a spin singolo. Provate a dimostrarlo voi stessi! Chiamiamo entangled gli stati che non sono separabili in termini di stati a spin singolo. Ma questa nozione sembra piuttosto matematica, nel senso che ci riferiamo a una proprietà della descrizione matematica dello stato, piuttosto che a un fenomeno fisico. Sebbene ciò sia generalmente vero per l'entanglement (che è infatti definito in termini dell'espressione matematica dello stato), alcuni stati entangled possono mostrare correlazioni molto più forti di quelle degli stati non entangled (separabili). Torniamo ora alla fisica. 
 
Dopo questa digressione matematica, torniamo ad Alice, Bob e Charlie. Supponiamo che Charlie decida ora di preparare coppie di spin nello stato entangled $|\Psi\rangle_{AB} = (|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B) / \sqrt{2}$. In questo momento non possiamo spiegare in dettaglio il processo fisico per farlo, tuttavia va notato che ciò richiede che i due spin interagiscano (cosa che non avveniva quando Charlie preparava gli stati $|\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B$). Ora, se Alice e Bob ricevono rispettivamente gli spin $A$ e $B$ e li misurano in direzione verticale, quali sono i risultati attesi? Ebbene, utilizzando nuovamente il terzo postulato della meccanica quantistica (allegato in inglese), vediamo immediatamente che entrambi ottengono il risultato “su” o “giù”, e le due situazioni si verificano con probabilità $p = 1/2$. Ancora una volta, come nel caso in cui Charlie utilizzasse la moneta per preparare lo stato a due spin, abbiamo una correlazione perfetta nella direzione verticale. Ma vediamo cosa succede se Alice e Bob misurano entrambi in direzione orizzontale. Utilizzando nuovamente che $|\uparrow\rangle = ( |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle ) / \sqrt{2}$ e analogamente che $|\downarrow\rangle = ( |\rightarrow\rangle - |\leftarrow\rangle ) / \sqrt{2}$, abbiamo 
$$\begin{aligned} 
|\Psi\rangle_{AB} =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B + |\downarrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B \right) \\ 
=& \frac{1}{2\sqrt{2}} \big[ (|\leftarrow\rangle_A + |\rightarrow\rangle_A ) \otimes (|\leftarrow\rangle_B + |\rightarrow\rangle_B) \\ 
&+ (|\rightarrow\rangle_A - |\leftarrow\rangle_A) \otimes (|\rightarrow\rangle_B - |\leftarrow\rangle_B) \big] \\ 
%=& \frac{1}{2\sqrt{2}} \big[ ( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B) \\ 
%&+ ( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B - |\leftarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B) \\ 
%&+ ( |\rightarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B - |\rightarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B) \\ 
%&+ ( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B) \\ 
=& \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\leftarrow\rangle_A \otimes |\leftarrow\rangle_B + |\rightarrow\rangle_A \otimes |\rightarrow\rangle_B \right). 
\end{aligned} 
$$ 
 
Da quest'ultimo risultato si può immediatamente notare che anche i loro esiti in direzione orizzontale sono perfettamente correlati! Entrambi ottengono lo stesso risultato, «sinistra» o «destra», con probabilità $p = 1/2$. Questa è la correlazione «aggiuntiva» (rispetto alla preparazione assistita dalla moneta) a cui ci riferivamo inizialmente. In effetti, ciò vale per qualsiasi direzione scelgano (purché sia la stessa per entrambi). È interessante notare che, per questo stato, i due possibili esiti ottenibili quando viene misurato uno dei due spin sono sempre ugualmente probabili (quindi imprevedibili) e, tuttavia, i due spin producono lo stesso risultato.